Karty Przedmiotu | Centrum Matematyki PG

1. Funkcja liniowa

1. Linear function

2. Funkcja kwadratowa

2.Quadratic function

3. Wielomiany

3. Polynomials

4. Funkcje wymierne

4. Rational functions

5. Funkcja potęgowa

5. Power function

6. Funkcja wykładnicza

6. Exponential function

7. Funkcja logarytmiczna

7. Logarithmic function

8.Funkcje trygonometryczne

8.Trigonomeric functions

9. Funkcja odwrotna

9. Inverse function

10. Funkcje cyklometryczne

10. Cyclometric functions

1. Ciągi nieskończone

1. Infinite sequences

2. Ciąg arytmetyczny

2.Arithmetic sequence

3. Ciąg geometryczny

3. Geometric sequence

4.Ciągi monotoniczne

4. Monotone sequences

5 Granica ciągu

5. Limit of a sequence

6. Ciągi zbieżne  i rozbieżne

6. Convergent and divergent sequences

7. Działania na ciągach

7. Operations on sequences

8. Ciąg rozbieżny do nieskończoności

8. Sequence divergent to infinity

9. Liczba e

9. The number e

1. Granica funkcji w punkcie  

1. Limit of a function at a  point

2.  Granica prawostronna  funkcji

2. Right-side  limit of a function

3. Granica lewostronna   funkcji

3. Left-side  limit of a function

4. Działania na granicy

4. Operations on the limit

5. Granica niewłaściwa

5. Improper limit

1.Funkcja ciągła w punkcie

1. Continuous function at a point

2.Ciągłość jednostronna

2.One –side continuity

3. Funkcja ciągła

3. Continuous function

4 . Ciągłość funkcji elementarnych

4. Continuity of elementary functions

5. Złożenie funkcji ciągłych

5. Composition of continuous functions

6. Ciągłość funkcji odwrotnej

6. Continuity  of an inverse function

1.Pochodne pierwszego rzędu

1.Derivatives of the first order

2. Funkcja różniczkowalna

2. Differentiable  function 

3. Różniczkowanie funkcji elementarnych

3. Differentiation of elementary functions

4. Styczna do krzywej w punkcie

4. Tangent  to a curve at  the point

5. Pochodne jednostronne

5. One – side derivatives

6. Różniczkowanie funkcji  odwrotnych

6. Differentiation of inverse functions

7. Różniczkowanie funkcji  złożonych

7. Differentiation of composite  functions

8.Twierdzenie Rolle’a  i Lagrange’a

8. Rolle and Lagrange theorems

9. Geometryczna interpretacja znaku pochodnej

9. Geometrical interpretation of the sign of a derivative

10.Ekstrema funkcji

10. Extrema of a function

11. Wyrażenia nieoznaczone i  Reguła  de l’Hospitala

11. Indeterminate forms  and  de l’Hospital’s  Rule

12. Asymptoty

12. Asymptotes

13.Pojęcie różniczki

13. Concept of a  differential

14. Pochodne wyższych  rzędów

14. Derivatives of higher orders

15.Różniczki wyższego rzędu

15. Differentials  of higher order

16. Geometryczna interpretacja drugiej pochodnej

16. Geometrical interpretation of the second derivative

17. Punkty przegięcia

17. Points of inflexion 

18. Wzór Taylora

18.  Taylor formula

1.Całki nieoznaczone

1. Indefinite integrals

2.Funkcja pierwotna

2. Primitive function

3. Wzór na  całkowanie  przez części.

3. Formula for the integration by parts

4. Wzór na  całkowanie  przez  podstawienie

4. Formula for the integration by substitution

5. Całkowanie funkcji wymiernych

5. Integration of rational functions

6. Całkowanie funkcji  niewymiernych drugiego stopnia

6. Integration of irrational functions of second degree

7. Całkowanie funkcji trygonomertycznych

7. Integration of trigonometric functions

8. Całki oznaczone

8. Definite integrals

9. Twierdzenie Newtona-Leibnitza

9. Newton- Leibniz formula

10. Geometryczne zastosowanie całek oznaczonych

10 Geometric application of definite integrals

11. Całka jako pole

11. The integral as an area

12.Długość łuku

12. The length of an arc

13. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej

13 The volume and surface area of a solid  of revolution

14. Całka Riemanna

14. Riemann integral

15 Całki niewłaściwe

15. Improper integrals

1.Macierze

1. Matrices

2. Macierz diagonalna

2. Diagonal matrix

3. Działania na macierzy 

3. Matrix operations

4. Odwracanie macierzy

4. Matrix inversion

5. Wyznaczniki

5. Determinants

6 .Własności wyznaczników

6. Properties of determinants

7. Rząd Macierzy

7. Rank of a matrix

8. Operacje elementarne na wierszu i kolumnie

8.Elementary row and column operations

9. Wartości i wektory własne 

9. Eigenvalues  and eigenvectors

10. Układ równań  liniowych

10.System of linear equations

11.  Układy jednorodne ( niejednorodne )

11. Homogeneous (non-homogeneous) systems

12. Twierdzenie Cramera

12. Cramer’s theorem

13. Twierdzenie Kroneckera - Capellego

13. Kronecker – Capelli theorem

14.Metoda eliminacji  Gaussa – Jordana

14. Gauss –Jordan  elimination method

15. Nierówności liniowe

15. Linear inequalities

1.Wektory w przestrzeni trójwymiarowej 

1. Vectors in three- dimensional  space

2.Działania na wektorach

2. Operations on vectors

3. Kąt między wektorami

3. Angel between vectors

4. Iloczyn skalarny  wektorów

4. The dot product of vectors

5. Iloczyn wektorowy

5. The cross product

6. Iloczyn mieszany wektorów

6. The scalar triple product of vectors

7.Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego

7. Geometric interpretation of the cross  product

8. Interpretacja geometryczna iloczynu  mieszanego

8. Geometric interpretation of the  scalar triple  product

9. Równania prostej w przestrzeni

9. Equations of a line in a space

10. Równania płaszczyzny  w przestrzeni

10. Equations of a plane in a space

11. Odległość punktu od płaszczyzny

11. Distance from a point  to a plane

12. Odległość punktu od prostej

12.Distance from a point  to a line

13. Odległość między prostymi

13. Distance between  lines

14. Kąty między płaszczyznami i prostymi

14. Angles between planes and lines

15. Równanie elipsy na płaszczyźnie kartezjanskiej

15. The equation of an ellipse on the Cartesian plane

16. Równanie hiperboli na płaszczyźnie kartezjanskiej

16. The equation of an hyperbola   on the Cartesian plane

17. Równanie paraboli  na płaszczyźnie kartezjanskiej

17. The equation of a  parabola  on the Cartesian plane

1.Działania na liczbach zespolonych

1. Operations on complex numbers

2. Postać trygonometryczna liczby zespolonej

2. Trigonometric form of a complex  number

3.Postać wykładnicza liczby zespolonej

3. Exponential of a complex number

4. Wzór de Moivre’a

4. De Moivre’s formula

5. Pierwiastkiz liczb zespolonych

5. Roots of complex numbers

6. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych

6. Geometric interpretation of complex numbers

1. Pochodna funkcji zespolonej

1. Derivative of a complex function

2. Warunki Cauchy – Riemanna 

2. Cauchy – Riemann conditions

3. Funkcja analityczna

3. Analytic function

4. Całki zespolone

4. Complex integrals

5.Podstawowe twierdzenie Cauchy’ego

5. Cauchy  integral theorem

6. Wzór całkowy Cauchy’ego

6.Cauchy  integral formula

7. Transformata Laplace’a

7. Laplace transform

8. Własności transformaty Laplace’a

8. Properties of the Laplace transform

9. Transformata odwrotna Laplace’a

9. Inverse of the Laplace transform

10. Splot dwóch funkcji

10. Convolution of two functions

1.Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych

1. Limits and continuity of a function of several variables

2. Pochodne cząstkowe

2. Partial derivatives

3. Różniczka zupełna

3. Total differential

4. Pochodne funkcji złożonych  ( zasada łańcuchowa )

4. Derivatives of composite functions (  a chain rule )

5. Pochodne cząstkowe wyższego rzędu

5. Partial derivatives of higher order

6.Punkty krytyczne

6. Critical points

7. Ekstrema funkcji wielu zmiennych

7. Extrema of functions of several variables

8. Funkcja uwikłana

8. Implicit function

9. Płaszczyzna styczna do powierzchni

9.  Tangent plane to the surface

1.Całka podwójna  po prostokącie

1. Double integral over a rectangle 

2. Cąłki iterowane

2. Iterated  integrals

3. Całka podwójna po zbiorze normalnym

3. Double integral over  the normal domain

4.Zamiana zmiennych w całce podwójnej

4. Change of variables in a double integral

5. Układ współrzędnych biegunowych

5. The polar coordinate system

6. Zastosowania całki podwójnej

6. Applications of the double integral

7.Całka potrójna  po prostpadłościanie

7. Triple integral over a cuboid

8.Zamiana zmiennych w całce potrójnej

8. Change of variables  in a triple integral

9.Układ współrzędnych sferycznych

9. Spherical coordinate system

10.Zastosowania całki potrójnej

10. Applications of the triple integral

1.Szeregi zbieżne i rozbieżne

1. Convergent and divergent series

2. Szeregi naprzemienne

2. Alternating series

3. Kryteria zbieżności szeregu

3. Convergence tests for infinite series

4.Ciągi i szeregi funkcyjne

4. Sequences and series of functions

5. Zbieżność jednostajna

5. Uniform convergence

6. Szeregi potęgowe

6. Power series

7.Promień  zbieżności  szeregu

7. Radius of convergence of  the series

8. Przedział zbieżności szeregu

8. Interval of convergence of the series

9. Różniczkowanie  i  całkowanie szergów potęgowych

9. Differentiation and integration of power series

10. Szereg Taylora  i Maclaurina

10 .Taylor and Maclaurin series

11. Szereg Fouriera

11.Fourier series

12. Podstawowe informacje o szeregu Fouriera

12. Basic  information on Fourier series

13. Szeregi zespolone Taylora I Lauranta

13. Taylor and Laurent  complex series

1.Równania różniczkowe rzędu pierwszego

1.First order differential equations

2. Rozwiązanie ogólne I szczególne  równania różniczkowego

2. General and  particular solution of the differential equation

3.  Zagadnienie początkowe Cauchy’ego

3. Initial value problem

4. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, liniowe, Bernoulliego i  zupełne 

4. Separable, linear, Bernoulli  and exact differential equations

5. Czynnik całkujący

5.Integrating factor

6. Równania różniczkowe drugiego rzędu przkształcane w równania różniczkowe rzędu pierwszego

6. Second order differential equations transformed to the first order differential equations

7. Równania różniczkowe liniowe  rzędu drugiego o stałych współczynnikach

7. Second order linear differential equations with constant coefficients

8. Równania różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach

8. Linear differential equations of order n with constant coefficients

9. Układ fundamentalny rozwiązań równania różniczkowego jednorodnego

9. Fundamental set of solutions of  the  linear homogeneous equation

10. Układy rownań różniczkowych liniowych

10. Systems of linear differential equations

11. Zastosowanie transformaty Laplace’a  do rozwiązywania równań różniczkowych  liniowych

11. Application of the Laplace transform to solve linear differential equations

1.Informacje o równaniach różniczkowych cząstkowych

1.Information  on partial differential equations

2.Równania rożniczkowe cząstkowe liniowe   rzędu pierwszego

2. Linear first order partial differential equations

3. Równanie różniczkowe cząstkowe  quasi-liniowe rzędu pierwszego

3. Quasi-linear first order partial differential equations

4. Równania charakterystyk

4. Characteristic equations

5. Równania rożniczkowe cząstkowe liniowe   rzędu  drugiego

5. Linear second  order partial differential equations

1. Przestrzeń liniowa

1. Linear space

2. Podprzestrzen liniowa

2. Linear subspace

3. Przestrzeń unormowana

3. Normed  space

4. Przekształcenie liniowe

4. Linear transformation

5. Formy kwadratowe

5. Quadratic forms

1.Działania na zbiorach

1.Operations on sets

2. Nieskończone sumy I iloczyny zbiorów

2. Infinte unions and intersections of sets

3. Prawa de Morgana

3. De Morgan’s  laws

4.Operacje logiczne

4. Logical operations

1.Struktury algebraiczne

1.Algebraic structures

2. Grupy, pierścienie ,ciała, moduły

2. Groups, rings, fields, modules

3.Działania binarne

3. Binary operations

Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Elements of probability theory

Elementy statystyki matematycznej

Elements of mathematical statistics

Badania operacyjne

Operations research  (operational research)

Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa: definicja prawdopodobieństwa, aksjomaty, przestrzeń probabilistyczna, prawdopodobieństwo łączne, niezależność

Basic concepts in probability theory: definition of probability, axioms, probability space, joint probability, independence

Zmienna losowa jednowymiarowa

One-dimensional random variable

Zmienna losowa dyskretna

Discrete random variable

Dystrybuanta

Probability distribution

Zmienna losowa ciągła

Continuous random variable

Gęstość rozkładu

Probability density functions

Zmienna losowa dwuwymiarowa

Two-dimensional random variable

Zmienna losowa dwuwymiarowa typu skokowego

Discrete two-dimensional random variable

Zmienna losowa dwuwymiarowa typu ciągłego

Continuous two-dimensional random variable

Rozkłady zmiennych losowych

Distributions of random variables

Rozkład jednostajny

Uniform distribution

Rozkład Bernoullego i rozkład dwumianowy

The Bernoulli and binomial distributions

Rozkład Poissona

Poisson distribution

Rozkład normalny

Normal distribution

Parametry rozkładów:  wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe, , moment rzędu k, moment centralny rzędu k, dominanta (moda), mediana

Parameters of a distribution: expected value, variance, standard deviation, the moment of order k, the central moment of order k , mode, median

Podstawowe pojęcia i twierdzenia

Basic concepts and theorems

Przedziały ufności

Confidence intervals

Weryfikacja hipotez statystycznych

Verification of statistical hypotheses

Elementy analizy wektorowej

Elements of vector analysis

Elementy teorii pola

Elements of field theory

Elementy geometrii różniczkowej

Elements of differential geometry

Elementy analizy tensorowej

Elements of tensor calculus

Pole skalarne i wektorowe

Scalar and vector fields

Funkcje wektorowe

Vector functions.

Granica i ciągłość funkcji wektorowej.

Limit and continuity of a vector function

Pochodna funkcji wektorowej

The derivative of a vector function

Gradient, dywergencja, rotacja

Gradient, divergence, curl

Laplasjan

Laplace operator (Laplacian)

Pole potencjalne

Conservative field

Całka krzywoliniowa nieskierowana

Line integral of a scalar field

Całka krzywoliniowa skierowana

Line integral of a vector field

Twierdzenie o niezależność całki od drogi całkowania

Fundamental theorem of line integrals

Twierdzenie Greena

Green’s theorem

Całka powierzchniowa niezorientowana

Surface integral

Całka powierzchniowa zorientowana

Flux integral

Twierdzenie Stokesa

Stokes’s theorem

Twierdzenie Gaussa - Ostrogradzkiego

Divergence Theorem

Trójścian Freneta

Frenet frame (Frenet-Serret frame or TNB frame)

Krzywizna i skręcenie krzywej

Curvature and torsion of a curve

Tensor bezwładności

Tensor of inertia

Postać diagonalna tensora bezwładności

Diagonal inertia tensor

Wprowadzenie do optymalizacji

Introduction to optimisation

Metoda geometryczna rozwiązywania problemów programowania liniowego

Graphical solution of linear programming problems

Metoda Sympleks

Simplex method

Zastosowania programowania liniowego

Applications of linear programming

Dualność w programowaniu liniowym

Duality in Linear Programming

Ekstrema warunkowe

Constrained optimisation

Metoda mnożników Lagrange’a

The method of Lagrange multipliers

Formy kwadratowe

Quadratic forms

Rozwiąż nierówność 3|x-3|-|2x+2| < 2x

Solve the inequality 3|x-3|-|2x+2| < 2x

Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x)=… . Wyznacz funkcję odwrotną do f.

Find the domain and range of the function f(x)=... . Determine the inverse function of f

Oblicz granicę ciągu (a_n).

Evaluate the limit of the given sequence (a_n).

Oblicz granicę funkcji f(x)=… w punkcie x₀=

Evaluate the limit of the given function f(x)=… at the point x₀=

Oblicz granice funkcji

• f(x)=((2x-1)/(2x+3))^2x+2 gdzie x zmierza do nieskończoności
• f(x)=(x³-1)/(x⁴-1) w punkcie x₀=1

Calculate limits of the functions

• f(x)=((2x-1)/(2x+3))^2x+2 as x tends to infinity
• f(x)=(x³-1)/(x⁴-1) at the point x₀=1

Zbadaj ciągłość podanej funkcji f(x)=…

Analyse the continuity of the following function f(x)=…

Wyznacz pochodną funkcji f(x)=… .

Find the derivative of f(x)=… .

Oblicz pochodne poniższych funkcji … .

Find the derivatives of the following functions … .

Stosując reguły różniczkowania, oblicz pochodną podanej funkcji f(x)=… .

Using the rules of differentiation find the derivative of the following function f(x)=… .

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności podanej funkcji f(x)=… .

Find local extremes and intervals of monotonicity of the function f(x)=… .

Narysuj wykres funkcji f(x)=… . Wyznacz jej ekstrema lokalne i punkty przegięcia.

Sketch the graph of the function f(x)=… . Identify any local extrema and inflection points.

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x,y)=… .

Identify any local extrema of the function f(x,y)=… .

Znajdź wartość najmniejszą i największą funkcji f(x)=… na przedziale … .

Find the absolute extrema of f(x)=… on the interval … .

Oblicz całkę nieoznaczoną

Evaluate indefinite integral

Wyznacz całki nieoznaczone podanych funkcji stosując metodę całkowania przez części lub przez podstawienie… .

Determine indefinite integrals of the following functions using the method of integration by parts or the method of substitution… .

Oblicz całkę nieoznaczoną danej funkcji wymiernej … .

Evaluate the indefinite integral of the given rational function ….

Wyznacz pole zawarte pomiędzy krzywymi y=… i y=… dla x zmieniającego się od x=… do x=… .

Find the area of the region bounded by y=…, y=… , x=…  and x=… .

Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi OX wykresu funkcji f(x)=… .

Find the volume of a solid of revolution obtained by rotating the graph of the function f(x)=… about the OX-axis.

Oblicz pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi OX łuku y= f(x).

Find the area of the surface obtained by the rotating the arc y=f(x) about the OX-axis.

Podaj trzy zastosowania całki oznaczonej z odpowiednimi wzorami.

Give three applications of the definite integral with appropriate formulas.

Wyznacz całkę niewłaściwą lub wykaż jej rozbieżność

Compute the improper integral or prove its divergence

Rozwiąż równanie … .

Solve the equation … .

Przeprowadź dyskusję rozwiązalności podanego układu równań.

Discuss the existence of solutions of the given system of linear equations.

Wyznacz wszystkie wartości  własne i odpowiednie  wektory własne macierzy A

Find all eigenvalues and eigenvectors of the matrix A

Wyznacz rząd macierzy A

Find the rank of the matrix A .

Niech A=[2 4; 2 1]. Wyznacz wartości własne A; A^-1; 5A; A²; A-6I

Let A=[2 4; 2 1]. Find the eigenvalues of A; A^-1; 5A; A²; A-6I

Rozwiąż równanie macierzowe (ze względu na X) 3X-AX=B jeżeli A=[5 6; 7 8], B=[-1 -3; 2 -1].

Solve matrix equation (for X) 3X-AX=B if A=[5 6; 7 8], B=[-1 -3; 2 -1].

Zbadaj wzajemne położenie podanych prostych l₁ i l₂.

Discuss the relative position of the given lines l₁ and l₂.

Zbadaj wzajemne położenie prostej l i płaszczyzny S.

Discuss the relative position of the line l and the plane S.

Pokaż, że punkty A, B, C, D nie leżą na płaszczyźnie.

Show that the points  A, B, C, D do not lie on the plane.

Wyznacz równanie płaszczyzny spełniającej dane  warunki :

• przechodzi przez oś z i punkt P,
• przechodzi przez punkt P i jest prostopadła do prostej l

Find an equation of the plane satisfying the given conditions:

• passes through the z- axis and the point   P,
• passes through the point P and is perpendicular to the line  l

Narysuj wykres funkcji f(x,y)=… .

Sketch the graph of the function f(x,y)=… .

Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanej funkcji f(x,y).

Compute the second order partial derivatives of the given function f(x,y).

Wyznacz różniczkę zupełną funkcji f(x,y).

Find the total differential of the function f(x,y).

Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S w punkcie P.

Find the equation of the plane tangent to the surface S at the point P.

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x,y)=…

Identify any local extrema of the function f(x,y)=… .

Znajdź ekstrema lokalne podanej funkcji f(x,y).

Find the local extreme values of the function f(x,y).

Znajdź wartość najmniejszą i największą funkcji f(x,y)=… na zbiorze D=… .

Find the absolute extrema of the function f(x,y)=… on the set D=… .

Wyznacz pochodną funkcji uwikłanej y=y(x) danej  równaniem F(x,y)=0.

Find the derivative of the implicit function y=y(x) given by the equation F(x,y)=0 .

Oblicz całkę podwójną podanej funkcji f(x,y) po wskazanym obszarze D.

Compute the double integral of the given function f(x,y) over the region D.

Wyznacz pole powierzchni obszaru zawartego pomiędzy krzywymi … .

Find the area of the region bounded by the curves … .

Używając współrzędnych walcowych lub sferycznych, oblicz podaną całkę potrójną.

Using cylindrical or spherical coordinates evaluate the given triple integral.

Podaj definicję sumy szeregu.

Give the definition of the sum of the series.

Oblicz sumę podanego szeregu o wyrazie ogólnym a_n.

Compute the sum of the given series with the general term a_n.

Zbadaj zbieżność szeregu stosując kryterium d’Alamberta, Cauchyego, porównawcze lub całkowe.

Check convergence of the series using the ratio test, the root test, the comparison test or the integral test.

Wykaż zbieżność szeregu i wyznacz jego wartość

Prove convergence of the series and find the sum.

Czy podany szereg jest zbieżny bezwzględnie, warunkowo, czy jest rozbieżny?

Is the given series absolutely convergent, conditionally convergent or divergent?

Wyznacz rozwiązanie ogólne równania różniczkowego ….

Find the general solution of the differential equation…..

Wyznacz rozwiązanie szczególne równania różniczkowego …. spełniające dane warunki początkowe….

Find the particular solution of the differential equation ... satisfying the given initial conditions ….

Wyznacz rozwiązanie ogólne równania różniczkowego …. stosując metodę  uzmienniania stałych .

Find  the general solution of  the differential equation …. using the method of variation of parameters .

Podaj przestrzeń probabilistyczną rozważanego doświadczenia losowego.

Construct the probability space for the given experiment.

Podaj rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę podanej dyskretnej zmiennej losowej.

Give the probability mass function and cumulative distribution function for the given discrete random variable.

Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję podanej zmiennej losowej typu ciągłego.

Compute the expected value and the variation of the given continuous random variable.

Konsument nabywa jabłka i banany kierując się funkcją użyteczności u(x₁,x₂)=x₁x₂², gdzie x₁ jest liczbą jabłek, a x₂ jest liczbą bananów. Przypuśćmy, że dysponuje on budżetem 1,80$ by nabyć koszyk jabłek i bananów, oraz jabłka kosztują 0,12$ za sztukę, a banany kosztują 0,20$ za sztukę. Napisz równanie zbioru budżetowego oraz funkcję Lagrange'a dla problemu wyznaczenia optymalnego koszyka towarów. Wyznacz optymalny koszyk.

A consumer buys apples and bananas and has utility function u(x₁,x₂)=x₁x₂², where x₁ is the number of apples and x₂ the number of bananas. Suppose that he has $1.80 to spend on the bundle of apples and bananas, and that apples cost $0.12 each, bananas cost $0.20 each. Write down the budget equations and the Lagrangean for the problem of finding the optimal bundle. What is the optimal bundle?

Student wymienia podstawowe własności funkcji elementarnych

Student names basic properties of elementary functions

Student rozwiązuje równania i nierówności zawierające funkcje elementarne

Student solves equations and inequalities with elementary functions

Student rozwiązuje zadania związane z ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi

Student solves exercises involving arithmetic and geometric sequences

Student bada monotoniczność i ograniczoność ciągów

Student examines monotonicity and boundedness of  sequences

Student wyznacza granice ciągów

Student evaluates the limits of sequences

Student wyznacza granice funkcji

Student evaluates the limits of functions

Student wyjaśnia pojęcie granicy i  ciągłości funkcji

Student explains  the concept of  limit and continuity of functions

Student podaje interpretacje graficzną punktów nieciągłości

Student gives a graphic interpretation of discontinuity points

Student definiuje podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej

Student defines the basic concepts of differential calculus of one variable function

Student wyznacza przedziały monotoniczności funkcji i jej ekstrema

Student determines intervals of monotonicity of a given function and its extrema

Student analizuje własności funkcji na podstawie badania jej pierwszej i drugiej pochodnej.

Student uses the first and second derivatives of a function to analyze its properties.

Student interpretuje geometrycznie wyniki badania wykresu funkcji przy wykorzystaniu pojęcia granicy, ciągłości i pochodnych funkcji

Student applies the concepts of limit, continuity, and derivatives of functions to solve curve sketching problems.

Student dokonuje analizy zadania z zakresu geometrii analitycznej

Student analyzes analytical geometry problems.

Student rozpoznaje wybrane krzywe  i analizuje zależności między nimi

Student recognizes certain curves and analyzes relations between objects

Student  bada liniową niezależność wektorów

Student examines the linear independence of vectors

Student wyjaśnia definicję iloczynu wektorowego

Student explains the definition of the  cross product

Student wykorzystuje iloczyn mieszany do obliczania objętości brył

Student uses the triple scalar product to give the volume of solids

Student bada położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni

Student examines the position of lines and planes in space

Student  bada liniową niezależność wektorów

Student examines the linear independence of vectors

Student wykonuje podstawowe operacje na liczbach zespolonych

Student uses the basic operations on complex numbers

Student wyznacza pierwiastki rzeczywiste i zespolone wielomianu

Student determines the real and complex roots of polynomial

Student wykonuje obliczenia na liczbach zespolonych

Student performs calculations on complex numbers

Student posługuje się liczbami zespolonymi i bada funkcje zespolone

Student uses complex numbers and studies complex functions

Student zna definicję pochodnej funkcji zmiennej zespolonej.

Student knows the definition of the derivative of  complex function.

Student wyznacza część rzeczywistą i urojoną funkcji zmiennej zespolonej

Student determines the real and imaginary parts of functions of a complex variable

Student bada funkcje zespolone

Student examines complex functions

Student oblicza całki funkcji zespolonej

Student calculates the integral of complex function

Student zna podstawowe twierdzenia dla ciągów i szeregów o wyrazach zespolonych

Student knows the fundamental theorems for sequences and series of complex terms

Student wyznacza transformatę odwrotną Laplace`a

Student determines the inverse of the Laplace transform

Student demonstruje wybrane techniki rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych używając transformaty Laplace`a

Student demonstrates some chosen techniques of solving ordinary differential equations using Laplace transform

Student stosuje transformatę Laplace`a

Student uses Laplace transform

Student definiuje podstawowe pojęcia algebry liniowej

Student defines the basic concepts of linear algebra

Student definiuje podstawowe pojęcia rachunku macierzowego

Student defines basic notions of matrix calculus

Student oblicza wyznaczniki dowolnego stopnia

Student calculates determinants of any degree

Student wyznacza wartości i wektory własne macierzy

Student determines  eigenvalues and eigenvectors of matrices

Student interpretuje graficznie układ nierówności liniowych

Student gives a graphic interpretation of the linear inequality

Student stosuje podstawowe wzory i techniki całkowania do obliczania całek nieoznaczonych

Student applies the basic rules and techniques of integration to calculate indefinite integrals
 

Student podaje interpretacje geometryczną całki oznaczonej

Student gives the graphic interpretation of definite integral

Student wymienia zastosowania geometryczne całek oznaczonych

Student lists geometrical applications of definite integrals

Student stosuje całkę oznaczoną do rozwiązywania zadań z zakresu geometrii

Student uses definite integral to solve geometrical problems

Student rozróżnia rodzaje całek niewłaściwych

Student distinguishes between the types of improper integrals

Student bada zbieżność całek niewłaściwych

Student examines the convergence of  improper integrals

Student wyznacza granice funkcji dwóch zmiennych

Student evaluates limits of a function of two variables

Student oblicza pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych

Student calculates partial derivatives of a function of two variables

Student analizuje własności funkcji dwóch zmiennych w oparciu o rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Student analyses properties of a given function of two variables using differential calculus of multivariable functions

Student bada funkcje wielu zmiennych przy wykorzystaniu pojęcia granicy, ciągłości i pochodnych

Student examines functions of several variables, using the concept of a limit, continuity and derivatives

Student wyznacza ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych

Student determines local and global extremes of functions of several variables

Student formułuje twierdzenie o funkcji uwikłanej

Student formulates the implicit function theorem

Student wyznacza pochodną funkcji uwikłanej

Student determines the derivative of the implicit function

Student oblicza całki podwójne i wyjaśnia metody zamiany zmiennych w całce podwójnej

Students calculates double integrals, and explains the method of substitution in the double integral

Student stosuje całki podwójne do rozwiązywania zadań z zakresu geometrii

Student applies double integrals in solving geometrical problems

Student oblicza całki potrójne i wyjaśnia metody zamiany zmiennych w całce potrójnej

Student calculates triple integrals, and explains the method of substitution in the triple integral

Student stosuje potrójne w zagadnieniach z zakresu geometrii

Student uses triple integrals in geometrical problems

Student bada zbieżność szeregów liczbowych

Student determines convergence of number series

Student zna kryteria zbieżności szeregów liczbowych

Student defines convergence tests of the number series

Student wykorzystuje szeregi funkcyjne do wyznaczania sumy szeregu i obliczeń przybliżonych

Student uses function series to determine the sum of a number series and in approximate calculation

Student wykorzystuje szeregi funkcyjne do wyznaczania sumy szeregu i obliczeń przybliżonych

Student uses function series to determine the sum of a number series and in approximate calculation

Student oblicza promień zbieżności i wyznacza przedział zbieżności szeregu potęgowego

Student calculates the radius of convergence and  the interval of convergence of a power series

Student wykorzystuje szeregi potęgowe do obliczeń sum szeregów liczbowych

Student uses power series in order to compute sums of number series

Student rozwija funkcje w szereg Taylora i Maclaurina

Student expands a function in Taylor and Maclaurin series

Student wyznacza szereg Fouriera funkcji

Student determines the Fourier series of a given function

Student wyznacza szereg Fouriera danej funkcji okresowej

Student determines the Fourier series of a given periodic function

Student demonstruje wybrane techniki rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Student demonstrates some techniques for solving ordinary differential equations

Student wyznacza całki ogólne i szczególne niektórych typów równań różniczkowych rzędu pierwszego

Student determines general and particular solutions of certain types of the first-order differential equations

Student dobiera właściwą metodę rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Students  finds the right method for solving ordinary differential equations

Student dobiera właściwą metodę rozwiązywania równań różniczkowych

Students  finds the right method for solving  differential equations

Student dobiera właściwą metodę rozwiązywania równań różniczkowych rzędu drugiego

Students  finds the right method for solving  the second - order differential equations

Student rozpoznaje różne typy równań różniczkowych i dobiera właściwe metody ich rozwiązywania

Student recognizes various types of differential equations and selects the appropriate methods to solve them

Student wyznacza całki ogólne i szczególne niektórych typów równań różniczkowych rzędu drugiego

Student determines general and particular solutions of certain types of the second-order differential equations

Student wyznacza  układ fundamentalny rozwiązań  równania liniowego jednorodnego wyższego rzędu o stałych współczynnikach

Student determines fundamental set of solutions of the homogeneous linear equation of order n with constant coefficients

Student wyznacza rozwiązania ogólne i szczególne równań różniczkowych  wyższego rzędu o stałych współczynnikach

Student determines general and particular solutions of  higher orders linear differential equations with constant coefficients

Student demonstruje wybrane techniki rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych używając transformaty Laplace`a

Student demonstrates some chosen techniques of solving ordinary differential equations using Laplace transform

Student wyznacza rozwiązania ogólne i szczególne równań różniczkowych cząstkowych liniowych pierwszego rzędu

Student determines general and particular solutions of a first-order partial linear differential equations

Student definiuje podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Student gives the definitions of basic notions of probability theory

Student oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń losowych

Student calculates the probability of random events

Student opisuje podstawowe typy rozkładów zmiennej losowej

Student describes the basic types of distributions of random variable

Student Rozróżnia typy zmiennych losowych i oblicza ich wartości oczekiwane, wariancje i momenty.

Student distinguishes different types of random variables and evaluates their expectations, variance and moments.

Student opisuje  parametry zmiennej losowej

Student describes the parameters of random variable

Student opisuje podstawowe typy rozkładów zmiennej losowej

Student describes the basic types of distributions of random variable

Student szacuje i interpretuje błąd statystyczny

Student estimates and interprets statistical error

Student stosuje metody podejmowania optymalnych decyzji

Student uses methods of resolving of optimum decisions

Student wyznacza gradient pola skalarnego, dywergencję i rotację pola wektorowego oraz potencjał pola

Student computes the gradient of a scalar field,  divergence and rotation of a vector field and a potential field

Student definiuje podstawowe pojęcia rachunku wariacyjnego

Student gives the definitions of basic notions of variational calculus

Student wyznacza ekstrema funkcjonału

Student determines extrema of a functional

Student oblicza całki krzywoliniowe

Student calculates linear integrals

Student rozróżnia całki krzywoliniowe i stosuje właściwe metody ich obliczania

Student distinguishes between line integrals and applies appropriate methods to calculate them

Student prezentuje zastosowania całek krzywoliniowych

Student presents the application of line integrals

Student oblicza całki powierzchniowe

Student  calculates surface integrals

Student prezentuje zastosowania całek powierzchniowych

Student presents the application of surface integrals

Student definiuje pojęcia rachunku tensorowego

Student gives the definitions of notions from tensor calculus

Student wyznacza tensor bezwładności

Student computes the tensor of inertia

Student wyznacza postać diagonalną tensora bezwładności

Student computes the diagonal form of inertia tensor

Student zna pojęcie krzywej i powierzchni

Student gives a definition of a curve and a surface

Student potrafi obliczyć krzywiznę krzywej i wyznaczyć trójnóg Freneta

Students calculates the curvature of a curve and find the Frenet frame

Student rozwiązuje równania różnicowe liniowe

Student solves difference linear equations

Student oblicza normę operatora liniowego

Student finds a  norm of the linear operator

Student wyznacza normę elementu przestrzeni Banacha

Student finds a norm of the element in Banach space

Student stosuje podstawowe twierdzenia

Student applies basic theorems

Student docenia znaczenie samodzielnego poszerzania wiedzy i podejmuje wyzwania związane z pracą przy grupowym rozwiązywaniu problemów.

Student recognizes the importance of self-expanding knowledge and takes the challenge of working with a group to solve a problem.

Student łączy wiedzę z zakresu matematyki z wiedzą z innych dziedzin.

Student combines knowledge of mathematics with knowledge from other fields.

Student docenia znaczenie umiejętnego posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym w aspekcie studiów na kierunkach technicznych.

Student recognizes the importance of skillful use of basic mathematical apparatus in terms of study in the future.

Student docenia znaczenie samodzielnego poszerzania wiedzy.

Student recognizes the importance of self-expanding knowledge.

Student posługuje się metodami matematycznymi w opisie zjawisk fizycznych / mechanicznych / procesów chemicznych.

Student uses methods of mathematical description of phenomena in the physical / mechanical / chemical processes.

Student rozumie potrzebę uczenia się przez całe życie, potrafi inspirować i organizować proces uczenia się innych osób

Student understands the need of lifelong learning. Student is able to inspire others and organize their learning process.

Student potrafi integrować uzyskane informacje, dokonywać ich interpretacji, a także wyciągać wnioski oraz formułować i uzasadniać opinie

Student is able to process the acquired information, analyze and interpret it, draw conclusions and reason opinions.